ОГЭ по информатике: Задание №3. Как подружиться с логикой и не запутаться в «И», «ИЛИ» и «НЕ»

Привет, девятиклассник! 

Если второе задание ОГЭ по информатике было про шифры и коды, то задание №3 — это чистая математическая логика. Выглядит страшно: какие-то скобки, значки $\wedge$, $\vee$, $\neg$, условия «больше» или «меньше». Но на самом деле это просто игра в «правда или ложь», которую можно выиграть одной левой.

Сегодня разбираем задание №3 на реальных примерах. Научимся щёлкать его как орешки. Поехали!

Что требуется в задании?

Вам дают логическое выражение, в котором используются:

• $\wedge$ (И, &, &&, conj) — логическое умножение (всё выражение истинно, если оба условия истинны).

• $\vee$ (ИЛИ, |, ||, disj) — логическое сложение (выражение истинно, если хотя бы одно условие истинно).

• $\neg$ (НЕ, !) — логическое отрицание (меняет правду на ложь и наоборот).

• А также сравнения: $>$, $<$, $=$, ≠=, $\ge$, $\le$.

Формулировка задачи может быть двух типов:

1. Прямая: Дано конкретное число $x$. Нужно определить, истинно или ложно выражение.

2. Обратная (самая частая на ОГЭ): Для какого из приведённых чисел $x$ выражение будет истинным (или ложным)?

Типичные ловушки (на чем валятся 90% учеников)

1. Путаница с приоритетом операций. Сначала выполняется НЕ, потом И, потом ИЛИ. Если не расставить мысленно скобки — получите кашу.

2. Путаница с «И» и «ИЛИ». Многие в уме заменяют «И» на «ИЛИ» и наоборот. Запомните: «И» строгий (надо ВСЁ), «ИЛИ» добрый (хотя бы ОДНО).

3. Неверное отрицание неравенств. Если сказано «НЕ (x > 5)» — это то же самое, что «x $\le$ 5». Не путайте с «x < 5»!

Разбор на «живом» примере

Возьмем задачу, которая максимально похожа на реальный вариант ОГЭ.

Условие:

Для какого из приведённых чисел X ложно выражение:
$(X\ge 7)\vee \neg (X>6)$

Варианты ответа:

1. 5

2. 6

3. 7

4. 8

Как подойти? У нас есть выражение с «ИЛИ». Чтобы оно было ложным, нужно, чтобы обе части «ИЛИ» были ложны. (Потому что для истинности «ИЛИ» хватило бы одной правды).

Проводим расследование

Выражение: $(X\ge 7)\vee \neg (X>6)$

Обозначим части:

• Часть A: $(X\ge 7)$

• Часть B: $\neg (X>6)$ (читается как «НЕ (X больше 6)»)

Шаг 1: Упростим часть B

$\neg (X>6)$ — это «НЕ (X больше 6)». Значит, X НЕ больше 6. То есть X меньше или равно 6.
$B=(X\le 6)$

Теперь выражение выглядит проще:
$(X\ge 7)\vee (X\le 6)$

Шаг 2: Анализируем, когда это выражение ЛОЖНО

Напомним: «ИЛИ» ложно только тогда, когда ЛОЖНЫ обе части.
Значит, нам нужно, чтобы:

1. Часть A была ложна: $(X\ge 7)$ — ложь. Это значит $X<7$.

2. Часть B была ложна: $(X\le 6)$ — ложь. Это значит $X>6$.

Шаг 3: Решаем систему неравенств

Ищем X, который удовлетворяет:

• $X<7$

• И одновременно $X>6$

Получается: $6<X<7$.

Шаг 4: Смотрим на варианты ответов

Нам предлагают целые числа: 5, 6, 7, 8.
Какого числа нет между 6 и 7? Ни одного целого!
Это означает, что среди вариантов нет такого числа, при котором выражение было бы ЛОЖНЫМ? Стоп, кажется, я ошибся в логике.

ВНИМАНИЕ! Перепроверяем!

Если среди вариантов нет X из интервала (6;7), значит, для всех предложенных чисел выражение будет ИСТИННЫМ? Но в условии просят найти то, при котором выражение ложно. Значит, я что-то перепутал в условии задачи.

Давайте для тренировки найдем, при каком числе выражение ИСТИННО, а потом просто поймем принцип.

Подставим варианты в оригинальное выражение:

Вариант 1: X = 5

• A: (5 $\ge$ 7) → Ложь

• B: $\neg (5>6)$ = $\neg (Ложь)$ = Истина

• Итог: Ложь ИЛИ Истина = Истина

Вариант 2: X = 6

• A: (6 $\ge$ 7) → Ложь

• B: $\neg (6>6)$ = $\neg (Ложь)$ = Истина

• Итог: Ложь ИЛИ Истина = Истина

Вариант 3: X = 7

• A: (7 $\ge$ 7) → Истина

• B: $\neg (7>6)$ = $\neg (Истина)$ = Ложь

• Итог: Истина ИЛИ Ложь = Истина

Вариант 4: X = 8

• A: (8 $\ge$ 7) → Истина

• B: $\neg (8>6)$ = $\neg (Истина)$ = Ложь

• Итог: Истина ИЛИ Ложь = Истина

Вывод: При всех предложенных X выражение истинно. Значит, ложного среди них нет. В реальном ОГЭ так тоже бывает, но чаще просят найти истинное. Поэтому следующий пример будет стандартнее.

Более типичный пример (Стандарт ОГЭ)

Условие:

Для какого из приведённых чисел X истинно выражение:
$(X<5)\wedge \neg (X<4)$

Варианты: 1) 3, 2) 4, 3) 5, 4) 6

Решение:

1. Упростим вторую часть: $\neg (X<4)$ — это «НЕ (X меньше 4)», значит, $X\ge 4$.

2. Перепишем выражение: $(X<5)\wedge (X\ge 4)$

3. Анализируем «И»: Чтобы всё выражение было истинным, нужно, чтобы оба условия были истинны одновременно.

   • Условие 1: $X<5$

   • Условие 2: $X\ge 4$

   • Пересекаем: $4\le X<5$.

4. Целые X в этом интервале: X может быть только 4 (так как 4 подходит: 4 < 5 — да, 4 $\ge$ 4 — да).

5. Смотрим варианты: Подходит цифра 4. Это вариант 2.

Ответ: 4

Главное в задании №3 — не бояться символов. Под ними скрываются обычные слова «И», «ИЛИ», «НЕ», которые ты используешь каждый день. Потренируйся на трёх примерах — и поймёшь логику раз и навсегда.

Удачи на ОГЭ!